Infinitamente infinito

Jueves, 29 de abril de 2010 | Sin clasificar

Aunque las matemáticas nunca se me han dado especialmente bien (y eso que en la universidad eran bastante duros con ellas), hay algunos conceptos que todavía me fascinan. Uno de estos conceptos es el infinito, del que ya he hablado en alguna ocasión, no sin sarcasmo.

Una de las explicaciones más bellas con la que me he cruzado para explicar los cardinales transfinitos es la metáfora del hotel infinito de David Hilbert, muy bien explicada en el artículo de la Wikipedia en español, y dice así:

Un buen día, un par de hoteleros decidieron construir el hotel más grande del mundo. Cuestionados por el número de habitaciones que debía tener para que ningún competidor pudiese arrebatarles el primer puesto, concluyeron que debían diseñar un hotel de infinitas habitaciones donde pudiesen alojar infinitos huéspedes. La única condición que impusieron es que los huéspedes debían aceptar ser cambiados de habitación cada vez que se les pidiese.

Infinito más uno
El éxito de la inauguración del hotel fue tan rotundo que inmediatamente se alojaron en él un infinito número de huéspedes. En ese preciso momento llegó un hombre al hotel y solicitó una habitación. El recepcionista entonces tomó el micrófono y solicitó a todos los huéspedes del hotel que sumasen uno a su número de habitación y se trasladasen a ese número de habitación. En ese momento, el recepcionista entregó la llave de la habitación número 1 al huésped recién llegado.

Dos infinitos
A la mañana siguiente, un representante de una agencia de viajes llegó al hotel comentando que tenía que alojar una excursión con infinitos turistas para esa misma tarde. El recepcionista, ni corto ni perezoso, cogió de nuevo el micrófono y solicitó a todos los huéspedes que multiplicasen por dos el número de su habitación y se moviesen a dicha habitación. Había ahora un infinito número de habitaciones impares libres donde se podrían acomodar los turistas de la excursión.

Infinito número de infinitos
Para rematar la faena, se presentó otro agente de viajes que tenía que alojar un número infinito de excursiones con un número infinito de turistas cada una. En este caso, el recepcionista llamó solamente a los huéspedes cuyo número de habitación fuese primo (distinto de 1) o una potencia de un número primo (pⁿ), y les pidió que elevasen el al cuadrado su número de habitación ((pⁿ)²) y se mudasen a dicha habitación.

A cada una de las infinitas excursiones que iban llegando se les asignó un número primo (distinto de 1), y a cada turista de cada excursión un número impar. El número de habitación del nuevo turista se determinaba elevando el número de excursión (p) al número de turista (t), o lo que es lo mismo p^t.

Conclusiones

Sumar 1 (o cualquier cantidad) a infinito siempre da infinito (no existe “infinito más uno”, lo que también solemos denominar “¡y tu más!”)
Existe un número infinito de números impares.
Existe un número infinito de números primos y un número infinito de números impares.

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